Proveniente de una familia de músicos, junto a su hermano Carlos fue uno de los tenores más destacados de las primeras décadas del siglo XX de nuestro país.

Nació en el puerto de Valparaíso, pero a muy temprana edad se trasladó a Europa, donde realizó estudios de Economía en Suiza e Italia, llegando a titularse como contador. En 1915 regresó a Chile, y trabajó en La Bolsa de Valparaíso durante un tiempo. Contra la voluntad de sus padres, abandonó ese trabajo e inició estudios de canto con el profesor Angelo Querzé.

En 1916 debutó en el Teatro Municipal de Santiago, con el papel de Valentín en Fausto. Se presentó en los escenarios de Buenos Aires y Montevideo al año siguiente, para luego protagonizar funciones brillantes en Chile.

En una visita que realizó a su hermano a Estados Unidos, realizó una audición para Cleofonte Campanini, lo que le significó su primera presentación en ese país. En 1918 se instaló en Nueva York, donde comenzó una exitosa carrera de grabaciones bajo el sello Victor y una serie de giras mundiales. Debutó en el Metropolitan Opera House en 1919 como Amonasro en Aída. En ese teatro realizó cinco temporadas, junto a los cantantes más importantes del momento.

Luego de varias giras mundiales, por consejo de Toscanini retomó los estudios de canto y reapareció en 1924 con La Traviata. En 1930 fue su debut en el teatro La Scala de Milán, interpretando a Tristán. Con el estreno de Lo straniero de Pizzetti, Zanelli se convirtió en cantante permanente de dicho teatro. En esta época se especializó en el rol del Moro de la ópera Otello de Verdi, papel que le granjeó renombre mundial como su mejor intérprete, luego del estreno en el teatro Reggio de Turín en 1926. Otra de sus especialidades fueron los personajes wagnerianos.

Habiéndose presentado en los teatros más importantes del mundo, Zanelli tuvo que interrumpir su carrera en 1934, por motivos de salud que lo llevaron, un año después, a una muerte prematura.