Arrau fue un verdadero ciudadano del mundo durante ochenta años de su vida. A temprana edad partió a Berlín a estudiar piano, teniendo como principal maestro a Martin Krause. En dicha ciudad debutó en público en 1914, para un concierto en honor del rey de Sajonia. Posteriormente, tocó bajo la dirección de afamados músicos como Richard Strauss y Otto Klemperer, para luego debutar con la Orquesta Filarmónica de Berlín en 1920.

Al año siguiente, debido al término de la beca que le permitía estudiar, volvió a Chile, pero al corto tiempo realizó su primera gira por Sudamérica. En 1922 volvió a Europa, esta vez para realizar presentaciones en Londres, y al año siguiente realizó su primera gira por Estados Unidos.

Retornó a Alemania definitivamente en 1924, donde fue nombrado profesor del célebre Conservatorio Stern de Berlín. Desde allí recorrió gran parte de Europa, incluyendo la Unión Soviética, además de México y Sudamérica. Fue en 1940, mientras realizaba una gira latinoamericana, cuando decidió no regresar al país germano, debido a sus conflictos con el régimen nazi imperante. Volvería sólo 14 años más tarde.

Fijó su residencia en Nueva York, Estados Unidos, donde realizó más de cien conciertos al año, transformándose en una de las figuras más importantes de la música clásica en el país del norte. Tanto así, que le fue otorgada la ciudadanía estadounidense en 1979.

Pero no sólo occidente fue testigo de su talento. En 1956 realizó presentaciones en India, Sri Lanka y Singapur; en 1968, en el marco de una gira mundial, tocó en Japón e Israel; y en 1985, visitó Corea del Sur.

Con el desgaste de los viajes y de la edad, realizó su última gira mundial el año 1990. Al año siguiente falleció en Mürzzuschlag, Austria.